MATEMATIKA DISKRIT

Matematika Diskrit Mengenai

Penarikan Kesimpulan, Aljabar Boolean dan Gerbang Logika

A.         Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan atau konsklusi ditarik dari beberapa pernyataan yang di asumsikan benar terjadi. Asumsi-asumsi ini disebut premis. Jika implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konsklusi merupakan tautologi maka dikatakan kesimpulan yang di ambil sah (valid). Sebaliknya, jika premis-premis tidak  memberikan cukup informasi untuk mendukung kesimpulan yang diambil, dikatakan penarikan kesimpulan tidak valid. Ada 3 prinsip dalam menarik kesimpulan yang sah, yaitu prinsip modus Ponens, prinsip modus tollens dan prinsip silogisme.

1.       Prinsip Modus Ponens

Premis 1 :  p→q                      Premis 2 :  p                      Konklusi : q

Prinsip modus ponens mengatakan “jika p terjadi maka q terjadi” dan ternyata p terjadi. Menurut asumsi, di simpulkan q terjadi”. Sahnya prinsip modus ponens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran pernyataan majemuk “((p→q ^ p)→q”’

Contoh :

a.        Premis 1 : Jika Gebi kehujanan, maka Gebi akan masuk angin.

Premis 2 : Gebi kehujanan.

Konklusi: Gebi masuk angin.

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip  modus ponens, beararti kesimpulan yang ditarik adalah sah.

b.        Premis 1: Jika Rico banyak membaca buku, maka wawasannya luas.

Premis 2 : Wawasan Rico luas.

Konklusi:  Rico banyak membaca buku.

Penarika kesimpulan seperti pada contoh b adalah salah atau palsu, karena premis tidak mengharuskan wawasan luas hanya jika banyak membaca buku. Boleh jadi wawasan Rico luas dikarenakan dia banyak berdiskusi dengan orang lain, banyak menonton acara pengatahuan di TV, sring melancong, atau karena sering mengikuti seminar, tetapi tidak banyak membaca buku.

2.     Prinsip Modus Tollens

Premis 1 :  p→q                      Premis 2 :  p                      Konklusi : q

Prinsip modus tolens mengatakan “bahwa jika p terjadi maka q terjadi dan ternyata q tidak terjadi, maka simpulkan bahwa p tidak terjadi”.

Prinsip modus tolens yang sah dapat diperoleh dengan melihat tabel kebenaran bagi pernyataan majemuk ((p→q) ^ ~q)→p. Caral lain untuk memverifikasi kesahan modus tolens adalah dengan memanfaatkan pemahaman kita tentang ekuivalensi dan modus ponens sebagai berikut :

                       Premis1:p→q≡~q→~p
                       Premis2:~q
                       konklusi:~q
coba perhatikan contoh berikut :

a.      Premis 1 : jika saya berolahraga teratur, maka saya akan sehat.

Premis 2 : Saya tidak sehat.

Konklusi : Saya tidak berolahraga teratur.

Penarikan kesimpulan ini menggunakan modus tolens, berati kesimpulan yang ditarik adalah sah.

b.     Premis 1 : jika Andi menang dalam bertanding, maka ia mendapat bonus.

Premis 2 : Andi tidak mendapat bonus.

Konklusi : Andi tidak menang  dalam bertanding (benar)

Contoh Penarik kesimpulan ini menggunakan prinsip modus tolens, berati penarikan kesimpulan ini adalah sah (valid).

3.     Prinsip Silogisme

Premis 1: p→q (benar) Premis 2:q→r(benar) Konklusi :p→r (benar)

Prinsip silogisme pada dasarnya mengatakan “jika p terjadi maka q terjadi, dan jika q terjadi maka r terjadi, sehingga disimpulkan jika p terjadi maka r juga terjadi”.

Prinsip silogisme diverifikasi dengan melihat tabel kebenaran bagi pernyataan majemuk ((p→q) ^ (q→r))→(p→r).

Contoh :

1.  Selidiki sah atau tidak nya penarikan kesimpulan berikut.

Premis 1 : Jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap.

Premis 2 : Jika 2x bilangan genap, maka 2x +1 bilangan ganjil.

Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x +1 bilangan ganjil.

Solusi

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip silogesme, berati penarikan kesimpulan ini sah.

2.     Selidiki sah atau tidaknya penarikan kesimpulan berikut dengan menggunakan tabel kebenaran.

Premis 1 : p→q

Premis 2 : ~p

      Konklusi : ~q

      Solusi

Kita periksa cara penarikan kesimpulan seperti di atas dengan menentukan nilai kebenaran dari ((p→q) ^ ~p)→ ~q.

P	q	~p	~q	p→q	(p→q)^~p	((p→q)^~p→~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B

                         Pada tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran ((p→q) ^ ~p)→q adalah B B S B, berati bukan merupakan tautologi. Jadi, penarikan kesimpulan tersebut tidak sah.

4.     Penambahan Disjungsi

Didasarkan pada fakta bahwa jika suatu kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung  dengan “v”, maka kalimat tersebut akan bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.

 p                       q

--------- atau ---------

p V q p V q

 ~p  :Saya mengambil matakuliah matematika diskrit.
 ~q  : Saya mengambil mata kuliah Agama.

  ∴ Saya mengambil mata kuliah matematika diskrit dan agama.

5.     Penyerdahanaa Disjungsi

Jika beberapa kalimat dihubungkan denganpenghubung ”ʌ”, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus.

p ʌ q              p ʌ q

--------- atau ---------

p                     q

Contoh:

~p  : Dewi menyukai makanan sop ayam.
~q  : Dewi menyukai makanan sate ayam

∴ Dewi menyukai makanan sop ayam dan sate ayam.

6.    Silogisme Disjungtif
Metode penarikan kesimpulan dimana jika di berikan dua pilihan “p” dan “ q” sedangkan “q” tidak di pilih maka kesimpulan nya adalah “p”.

Contoh kalimat:

  p v q               : Bulan depan saya pergi ke singapura atau pergi ke korea

  - q                  : Bulan ini saya tidak pergi ke Bali.

 kesimpulan(p): Bulan ini saya pergi ke singapura.

7.     Silogisme Hipotesis

Silogisme Hipotesis adalah jika diketahui "p → q" dan "q → r" maka kesimpulannya "p → r".Kaidah ini didasarkan pada tautologi , yang dalam hal ini, p dan q adalah hipotesis, sedangkan p adalah konklusi. Kaidah ini di tulis dengan cara :

Contoh kalimat :

P : nisa suka makan atau

q: nisa kenyang

r :nisa punya uang

kesimpulan nya (p→r)= jika nisa makan makan nisa punya uang

8.    Dilema

Dilema adalah penarikan kesimpulan jika diketahui "p v q" dan "p → r" dan "q → r" maka kesimpulannya adalah "r".

Contoh dalam soal:

P:Agama itu menyenangkan

q:Dosen agama baik

 r: Roy dapat nilai70

kesimpulannya “r”=Roy dapat nialai  90

B.  Aljabar Boolean

   Misalkan terdapat :

1. Terdapat "dan", "atau", "not".

2. 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda.

3. Himpunan yang didefinisikan pada operator +, ×, dan ’.

Contoh NK dari :

    1.  a + b

a	b	a+b
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

  

  2. (ab)'

A	B	Ab	(ab)’
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

C . Gerbang Logika

    Gerbang logika digambarkan sebagai mesin yang memuat satu input atau lebih dan tepat satu output. Ada dua jenis gerbang logika pada aljabar Booleanyaitu gerbang logika dasar yang terdiri dari AND, OR, dan NO.

Gerbang AND

        Gerbang logika menggunakan, gerbang AND akan bernilai output 1, jika seluruh input bernilai 1 jika salah satu input bernilai 0, maka output yang dihasilkan bernilai 0.

Gerbang OR

        Gerbang OR menggunakan, akan memiliki output 1, jika salah satu input bernilai 1. namun, jika seluruh input bernilai 0, maka output akan bernilai .

Gerbang NOT

        Gerbang NOT menggunakan IC 7404, memiliki input berkebalikan dengan output, misal input 1, maka output bernilai 0.

Daftar Pustaka

Sri Kurnianingsih, K. S. (2007). Matematika SMA DAN MA untuk kelas X Semester 2. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Wahyuningrum, T. (2006). Matematika Diskrit. Bandung.

~~TRIMAKASIH~~