MATEMATIKA DISKRIT

MATEMATIKA DISKRIT

TEORI RELASI

Pengertian Relasi

      Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu.

Contoh:

Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }.

E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  ke F  yang  mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E, di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E.

Cara menyatakan Relasi :

Cara menyatakan Relasi dapat dilakukan dengan:

    1.Diagram Panah

    2.Diagram Cartesius

     3.Himpunan Pasangan Berurutan

Contoh di atas dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan dengan memasangkan secara berurutan anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota himpunan B yaitu:

{(1,A), (1,B), (2,B), (3,B), (3,C)}.

Sifat-Sifat Relasi :

RELASI BINER

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

• Refleksif
• Irefleksif
• Simetrik
• Anti-simetrik
• Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan xdan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

Sebuah relasi “ genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan bberlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

Contoh soal Relasi dan penyelesaiannya :

    1.   Misalkan A adalah himpunan yang anggotanya Anto, Andi, Yudi, Ani, Mila, dan Yanti. Dimana Anto, Andi, dan Yudi berjenis kelamin laki-laki, dan Ani, Mila, dan Yanti berjanis kelamin perempuan. Apakah himpunan A merupakan relasi ekuivalen ?

Jawab :

Untuk membuktikan himpunan A merupakan relasi ekuivalen harus memenihi ke-3 sifat yaitu refleksif,simetri dan transitif

sifat refleksif

anto ~ anto , berelasi dengan dirinya sendiri karena jenis kelaminnya laki-laki

sifat simetri

anto ~ andi

andi ~ anto , anto berelasi dengan andi dan andi berelasi dengan anto karena jenis kelaminnya sama.

sifat transitif

Mila ~ Ani

Ani ~ Yanti

Mila ~ Yanti

Mila berelasi dengan Ani dan Ani berelasi dengan Yanti maka otomatis Mila berelasi dengan Yanti karena jenis kelaminnya sama

kesimpulannya jadi himpunan A  merupakan relasi ekuivalen karena memenuhi ke-3 sifat dan sudah mempunyai relasi yaitu jenis kelamin yang sama.

   2.   A = { x│x  ≤ 4,x ϵ asli }

B = { y│2 ≤ y ≤ 12,y ϵ genap }

Tentukan relasi dari A ke B yang menyebabkan y = 3x

Jawab :

A = daerah asal (domain)

B = daerah hasil (kodomain)

Yang di tuju anak panah di sebut daerah hasil (range).

    3.  Lima orang siswa memilih kegiatan masing-masing. Adit dengan basket , Candra dengan karate, Yoseph dengan voli, Ilham dengan tenis meja dan Joni dengan judo. Tuliskan relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan!

Jawab :

{(Adit,basket),(Candra,karate),(Yoseph,voli),(Ilham,tenis meja),(Joni,judo)}.

DAFTAR PUSTAKA

Munir. (2012). Matematika Diskrit, Revisi Kelima. Yogyakarta.

~~TRIMAKASIH~~