MATEMATIKA DISKRIT

Matematika Diskrit

Teori Himpunan

 Definisi himpunan

 Teori himpunan merupakan konsep dasar dalam pembahasan matematika diskrit

– Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

– Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

– HIMATIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

Dalam Penyajiannya :

A. Himpunan Enumerasi

Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf  kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

Contoh

– Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}.

– Himpunan B mempunyai dua bilangan genap positif pertama: B={4,5}.

– Meskipun himpunan biasa digunakan untuk mengelompokkan objek yang mempunyai sifat mirip, tetapi dari definisi himpunan   diketahui  bahwa sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.

– contoh: {hewan, a, Amir, 10, komputer} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu hewan, a, Amir, 10, komputer.

– R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }    C  = {a, {a}, {{a}} }

Contoh tersebut memperlihatkan bahwa suatu himpunan bisa terdapat anggota himpunan lain.

– K={ }

Contoh tersebut adalah himpunan kosong, karena K hanya berisi satu elemen yaitu { }.

Himpunan kosong dapat dilambangkan dengan Ø.

– Himpunan 100 buah bilangan asli pertama bisa dituli {1, 2, …, 100}

Untuk menuliskan himpunan yang tak berhingga, kita dapat menggunakan tandaellipsis(∞).

– Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

B.  Keanggotaan

     x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;

     x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

     misal, A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

     maka, 1 ∈ A dan b ∉ A

C.  Simbol-simbol Baku

Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan,

antara lain:

P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}

N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…}

Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah  himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U.

Himpunan  U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {bil. Genap kurang dari 6} berarti U= {2, 4}

E. Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:

Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan

Tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga

Bagian di kanan tanda ’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan

Setiap tanda ’,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli

Daftar anggota: A={1,2,3,. . .}

Notasi pembentuk himpunan: A={x | x ∈ A }

F. Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

                  A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

G. Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan Amerupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau |A|  , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan.

B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen Badalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI.

A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}.

Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞.

H. Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi: Ø atau { } 

Contoh: A = {x | x < x}, maka n(A) = 0

Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}.

I. Himpunan bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Contoh : 

A={1,2,3}

B={1,2,3,4,5,7}  

C={1,2,4,5}     

Jadi : * A ⊆ B   * A bukan himpunan bagian C

J.  Himpunan yang Sama

– Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

– A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dariA. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

– Notasi : A = B  ↔  A ⊆ B dan B ⊆ A   

– Contoh: A={a,b,c}, B={c,a,b}      Jadi, A=B

– tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. urutan elemen dalam himpunan tidak penting.         

     jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}

2. pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.            

      Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1}          {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}

3. untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:

– A = A, B = B, dan C=C

– Jika A = B,maka B

– Jika A = B, dan B = C maka A = C

K.  Himpunan Ekivalen

– Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

– Notasi: A ~ B  ↔ |A|=|B|

Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|

L. Himpunan Saling Lepas

– Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

– Notasi : A // B  

– Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.

M.  Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi : P(A) atau 2^A

Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.

Contoh:

– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

Operasi Pada Himpunan :

 Irisan ( ∩ )

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}

Gabungan  ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}

 Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}

 Selisih

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}

Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

 Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

 Catatan :                              

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.

4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅

DAFTAR PUSTAKA

Wahyudin Djumanta, T. F. (2005). Mari Memahami Konsep Matematika Diskrit. Bandung: Grafindo Media Pratama.

~TRIMAKASIH~