Proposisi
Proposisi: pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah(false), tetapi tidak keduanya disebut proposisi. (Tenia Wahyu Ningrum dan Elisa Usada,2016).
Proposisi atau pernyataan merupakan komponen penyusun logika dasar yang dilambangkan dengan huruf kecil (p,q,r,…). Proposisi hanya dapat diwakili oleh kalimat deklaratif. Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mengandung nilai kebenaran.( Ema Utami,2004)
Sebuah proposisi bisa terdiri atas sebuah statemen(proposisi tunggal) atau beberapa statemen dengan konektor atau penghubung (proposisi majemuk).
Contoh :
a. 1+2=3
b. Tolong ambilkan buku
c. Jam berapa Sekarang
d. Banjar Masin Ibu Kota Kalimantan Selatan
e. Tina lebih pendek dari Rindiani
Kalimat (a) merupakan proposisi dengan nilai kebenaran BENAR. Kalimat (b) merupakan proposisi dengan nilai kebenaran SALAH. Kalimat (c) bukan proposisi karena tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat (d) merupakan proposisi dengan nilai kebenara BENAR. Kalimat (e) bukan proposisi karena tidak dapat ditentukan kebenarannya.
Beberapa kalimat yang termasuk dalam non-deklaratif atau bukan proposisi yaitu:
1. Kalimat dengan ekslamasi (!)
2. Kalimat dengan permintaan
3. Kalimat bertanya (?)
Operator Logika
Negasi (NOT) Lambang ; ~
Konjungsi (AND) Lambang ; ^
Disjungsi (OR) Lambang ; V
Implikasi (jika – maka) Lambang ;
Bikondisional (jika dan hanya jika) Lambang ;
Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tersebut diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.
Tabel Kebenaran
Disini Proposisi ada Penghubung Proposisi Sebagai berikut:
Dalam logika proposisi terdapat lima macam konektor ( penghubung) seperti berikut ini:
1. Dan ( dengan symbol ˄)Operasi dan (˄) pada dua proposisi A dan B disebut conjunction dan ditulis A^B, hanya bernilai benar bila kedua proposisi A dan B bernilai benar. Perhatikan tabel kebenaran operasi dan (˄) dari proposisi A dan B, sebagai berikut:
A
|
B
|
A˄B
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
2. Atau ( dengan symbol ˅)
Operasi atau (˅) pada dua proposisi A dan B disebut disjunction dan ditulis A ˅ B, dan bernilai salah bila kedua proposisi A dan B bernilai salah. Perhatikan tabel kebenaran operasi atau (˅) dari proposisi A dan B, sebagai berikut:
A
|
B
|
A˅B
|
Benar
|
Benar
|
Salah
|
Benar
|
Salah
|
Benar
|
Salah
|
Benar
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
3. Jika – Maka ( dengan symbol →)
Operasi jika-maka(→) pada dua proposisi A dan B disebut implikasi, dan bernilai salah bila proposisi A bernilai benar dan proposisi B bernilai salah. Perhatikan tabel kebenaran berikut:
A
|
B
|
A → B
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
4. Jika-dan-hanya-jika ( ↔ )
Operasi jika dan hanya jika (↔) pada dua proposisi A dan B disebut Biimplikasi, dan bernilai benar apabila proposisi A dan B bernilai sama ( sama benar atau sama salah ). Perhatikan tabel kebenaran berikut:
A
|
B
|
A ↔ B
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
5. Bukan atau tidak ( ~)
Operasi bukan atau tidak (~) pada proposisi disebut negasi. Jika P adalah proposes maka negasi P atau bukanlah P ditulis dengan (~P). perhatikan tabel kebenaran berikut:
P
|
~P
|
Benar
|
Salah
|
Salah
|
Benar
|
Kalimat Majemuk
Pernyataan Majemuk memiliki lebih dari satu pernyataan dalam satu kalimat. Di antara satu pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan kata penghubung. Pada pernyataan majemuk didalam logika matematika ini ada beberapa jenis, yaitu: negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Berikut penjelasan dari masing-masing kata penghubung pada pernyataan majemuk, yaitu:
A. Negasi(~)
Negasi merupakan kebalikkan atau lawan dari suatu pernyataan. Jika diketahui pernyataan p, maka ingkarannya adalah ~p dan sebaliknya. Nilai dituliskan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Contoh : ingkaran dari “Saya sudah mandi’ adalah ...
Jawab : p = Saya sudah mandi (kata sudah diingkar menjadi belum)
~p= Saya belum mandi
B.Konjungsi (^)
Konjungsi adalah kata penghubung yang menggunakan kata “dan”, disimbolkan dengan ^ . Nilai kebenaran pada konjungsi yaitu: jika p dan q merupakan dua pernyataan. Maka p^q bernilai salah, jika salah satu dari p atau q bernilai salah, jika salah satu dari p atau q bernilai salah atau keduanya benilai salah. Lihat tabelnya ya!
P
|
Q
|
P^Q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Contoh : Nilai kebenaran dari “2 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan ganjil”
Jawab:
Pernyataan p= 2 adalah bilangan prima (BENAR)
Pernyataan q= 3 adalah bilangan ganjil (BENAR)
Karena p dan q bernilai BENAR, maka pernyataan p^q bernilai BENAR.
C.Disjungsi (V)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq dibaca “p atau q”
Tabel nilai kebenaran disjungsi:
P
|
q
|
pVq
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Contoh:
· p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
· q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
· pVq:Paus adalah mamalia atau herbivora (pernytaan bernilai benar)
D. Implikasi (→)
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika...maka...”Sehingga notasi dari “p→q” dibaca “jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebeneran dari implikasi:
p
|
q
|
p→q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika (p) benar, dan (q) salah.
Contoh
· p: Irmawati belajar dengan aplikasi ruang guru. (pernyataan bernilai benar)
· q: Irmawati dapat belajar dimana saja. (pernyataan bernilai benar)
· p→q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruang guru, maka Andi dapat belajar dimana saja (pernyataan bernilai benar)
E. Biimplikasi (↔)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “...jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p↔q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.
Tabel nilai kebeneran Biimplikasi:
p
|
q
|
p↔q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Dari tabel kebenaran tersebut, biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
· p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
· q: 60 adalah ganjil (pernyataan bernilai salah)
· p↔q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilanagn ganjil (pernyataan bernilai salah).
Ekuivalensi
Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen/setara dalam logika, jika mempunyai nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan oleh A ≡ B. Pada tabel dibawah ini terdapat beberapa contoh bentuk-bentuk contoh logika yang ekuivalen
Hukum Komutatif
|
a. P^q≡ q ^ p
b. pVq≡ q V P
|
Hukum Asosiatif
|
a. (p^q)^r≡ p^(q^r)
b. (p^q)Vr≡ pV(qVr)
|
Hukum Distributif
|
a. P^(qVr)≡(p^q)V(p^r)
b. PV(q^r)≡(pVq)V(pVr)
|
Hukum Demorgen
|
a. ~(p^q)≡~pV~q
b. ~(pVq)≡~p^~q
|
TAUTOLOGI
Suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenarannya selalu benar disebut tautologi.
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai benar. Sebagai contoh, pernyataan p→(pVq) selalu benar.
KONTRADIKSI
Suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenarannya selalu salah disebut kontradiksi. Sebagai contoh, penyataan (p^q)^(p→~q).
A
|
~A
|
(A^~A)
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A^A) selalu salah.
KONTINGENSI
Suatu pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran benar dan salah disebut kontingensi. Tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalam nya.
Sebagai contoh, pernyataan (pVq)→r.
P
|
Q
|
r
|
pVq
|
(pVq)→r
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Daftar Pustaka
Muhammad Rusli, I. K. (2009). Logika dan Matematika. Yogyakarta: Andi.
usada, T. W. (2016). Matematika Disktrit dan Penerapan dalam Dunia Informatika.
Yogyakarta: Tenia Wahyuningrum.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar